State Transition Table for the (5n+1)/2n Analog

These analogues of the Collatz iteration are of interest to see what they can teach us what is unique about the Collatz iteration.  Whereas any given value mod 8 in the  (3n+1)/2i iteration can have a leaf and two non-leaf predecessors,  in the (5n+1)/2i case any given value mod 16 can have a leaf and four non-leaf predecessors.  This makes a rather more complicated table of state transitions.

from ---> values 1[5]          values 2[5]          values 3[5]          values 4[5]
         from                 from                 from                 from
            using                using                using                using
and      (n*24-1)/5          (n*23-1)/5          (n*21-1)/5          (n*22-1)/5
from            gives                gives                gives                gives
____     ____   _____         ____   _____         ____   _____         ____   _____
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
           1->   3:3[5]3[16]   17-> 27:2[5]11[16]   33-> 13:3[5]13[16]   49-> 39:4[5] 7[16]
          81-> 259:4[5]3[16]   97->155:0[5]11[16]  113-> 45:0[5]13[16]  129->103:3[5] 7[16]
 1[16]   161-> 515:0[5]3[16]  177->283:3[5]11[16]  193-> 77:2[5]13[16]  209->167:2[5] 7[16]
         241-> 771:1[5]3[16]  257->411:1[5]11[16]  273->109:4[5]13[16]  289->231:1[5] 7[16]
         321->1027:2[5]3[16]  337->539:4[5]11[16]  353->141:1[5]13[16]  369->295:0[5] 7[16]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
          51-> 163:3[5]3[16]   67->107:2[5]11[16]    3->  1:1[5] 1[16]   19-> 15:0[5]15[16]
         131-> 419:4[5]3[16]  147->235:0[5]11[16]   83-> 33:3[5] 1[16]   99-> 79:4[5]15[16]
 3[16]   211-> 675:0[5]3[16]  227->363:3[5]11[16]  163-> 65:0[5] 1[16]  179->143:3[5]15[16]
         291-> 931:1[5]3[16]  307->491:1[5]11[16]  243-> 97:2[5] 1[16]  259->207:2[5]15[16]
         371->1187:2[5]3[16]  387->619:4[5]11[16]  323->129:4[5] 1[16]  339->271:1[5]15[16]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
          21->  67:2[5]3[16]   37-> 59:4[5]11[16]   53-> 21:1[5] 5[16]   69-> 55:0[5] 7[16]
         101-> 323:3[5]3[16]  117->187:2[5]11[16]  133-> 53:3[5] 5[16]  149->119:4[5] 7[16]
 5[16]   181-> 579:4[5]3[16]  197->315:0[5]11[16]  213-> 85:0[5] 5[16]  229->187:3[5] 7[16]
         261-> 835:0[5]3[16]  277->443:3[5]11[16]  293->117:2[5] 5[16]  309->247:2[5] 7[16]
         341->1091:1[5]3[16]  357->571:1[5]11[16]  373->149:4[5] 5[16]  389->311:1[5] 7[16]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
          71-> 227:2[5]3[16]    7-> 11:1[5]11[16]   23->  9:4[5] 9[16]   39-> 31:1[5]15[16]
         151-> 483:3[5]3[16]   87->139:4[5]11[16]  103-> 41:1[5] 9[16]  119-> 95:0[5]15[16]
 7[16]   231-> 739:4[5]3[16]  167->267:2[5]11[16]  183-> 73:3[5] 9[16]  199->159:4[5]15[16]
         311-> 995:0[5]3[16]  247->395:0[5]11[16]  263->105:0[5] 9[16]  279->223:3[5]15[16]
         391->1251:1[5]3[16]  327->523:3[5]11[16]  343->137:2[5] 9[16]  359->287:2[5]15[16]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
          41-> 131:1[5]3[16]   57-> 91:1[5]11[16]   73-> 29:4[5]13[16]    9->  7:2[5] 7[16]
         121-> 387:2[5]3[16]  137->219:4[5]11[16]  153-> 61:1[5]13[16]   89-> 71:1[5] 7[16]
 9[16]   201-> 643:3[5]3[16]  217->347:2[5]11[16]  233-> 93:3[5]13[16]  169->135:0[5] 7[16]
         281-> 899:4[5]3[16]  297->475:0[5]11[16]  313->125:0[5]13[16]  249->199:4[5] 7[16]
         361->1155:0[5]3[16]  377->603:3[5]11[16]  393->157:2[5]13[16]  329->263:3[5] 7[16]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
          11->  35:0[5]3[16]   27-> 43:3[5]11[16]   43-> 17:2[5] 1[16]   59-> 47:2[5]15[16]
          91-> 291:1[5]3[16]  107->171:1[5]11[16]  123-> 49:4[5] 1[16]  139->111:1[5]15[16]
11[16]   171-> 547:2[5]3[16]  187->299:4[5]11[16]  203-> 81:1[5] 1[16]  219->175:0[5]15[16]
         251-> 803:3[5]3[16]  267->427:2[5]11[16]  283->113:3[5] 1[16]  299->239:4[5]15[16]
         331->1059:4[5]3[16]  347->555:0[5]11[16]  363->145:0[5] 1[16]  379->303:3[5]15[16]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
          61-> 195:0[5]3[16]   77->123:3[5]11[16]   13->  5:0[5] 5[16]   29-> 23:3[5] 7[16]
         141-> 451:1[5]3[16]  157->251:1[5]11[16]   93-> 37:2[5] 5[16]  109-> 87:2[5] 7[16]
13[16]   221-> 707:2[5]3[16]  237->379:4[5]11[16]  173-> 69:4[5] 5[16]  189->151:1[5] 7[16]
         301-> 963:3[5]3[16]  317->507:2[5]11[16]  253->101:1[5] 5[16]  269->215:0[5] 7[16]
         381->1259:4[5]3[16]  397->635:0[5]11[16]  333->133:3[5] 5[16]  349->279:4[5] 7[16]
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          31->  99:4[5]3[16]   47-> 75:0[5]11[16]   63-> 25:0[5] 9[16]   79-> 63:3[5]15[16]
         111-> 355:0[5]3[16]  127->203:3[5]11[16]  143-> 57:2[5] 9[16]  159->127:2[5]15[16]
15[16]   191-> 611:1[5]3[16]  207->331:1[5]11[16]  223-> 89:4[5] 9[16]  239->191:1[5]15[16]
         271-> 867:2[5]3[16]  287->459:4[5]11[16]  303->121:1[5] 9[16]  319->255:0[5]15[16]
         351->1123:3[5]3[16]  367->587:2[5]11[16]  383->153:3[5] 9[16]  399->319:4[5]15[16]
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Table of state transitions for the  (5n+1)/2i analogue to the Collatz iteration.

All combinations of non-leaf nodes  (i.e.  {1..4}  mod 5 and  {1,3,5,7,9,11,13,15,}  mod 16)  are shown as starting points.  The formulas for each column of calculations are given across the top.  Since each state, n, gives a different predecessor according to floor(n/80) mod 5, every state can go in 5 directions.  Drawing a state transition diagram in which states are characterized both as to their values mod 5 and mod 16 looks hopeless complicated.  However,  using only the value mod 16 to characterize the states permits a reasonably tractable state transition diagram.


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