These analogues of the Collatz iteration are of interest to see what they can teach us what is unique about the Collatz iteration. Whereas any given value mod 8 in the (3n+1)/2i iteration can have a leaf and two non-leaf predecessors, in the (5n+1)/2i case any given value mod 16 can have a leaf and four non-leaf predecessors. This makes a rather more complicated table of state transitions.
from ---> values 1[5] values 2[5] values 3[5] values 4[5]
from from from from
using using using using
and (n*24-1)/5 (n*23-1)/5 (n*21-1)/5 (n*22-1)/5
from gives gives gives gives
____ ____ _____ ____ _____ ____ _____ ____ _____
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1-> 3:3[5]3[16] 17-> 27:2[5]11[16] 33-> 13:3[5]13[16] 49-> 39:4[5] 7[16]
81-> 259:4[5]3[16] 97->155:0[5]11[16] 113-> 45:0[5]13[16] 129->103:3[5] 7[16]
1[16] 161-> 515:0[5]3[16] 177->283:3[5]11[16] 193-> 77:2[5]13[16] 209->167:2[5] 7[16]
241-> 771:1[5]3[16] 257->411:1[5]11[16] 273->109:4[5]13[16] 289->231:1[5] 7[16]
321->1027:2[5]3[16] 337->539:4[5]11[16] 353->141:1[5]13[16] 369->295:0[5] 7[16]
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51-> 163:3[5]3[16] 67->107:2[5]11[16] 3-> 1:1[5] 1[16] 19-> 15:0[5]15[16]
131-> 419:4[5]3[16] 147->235:0[5]11[16] 83-> 33:3[5] 1[16] 99-> 79:4[5]15[16]
3[16] 211-> 675:0[5]3[16] 227->363:3[5]11[16] 163-> 65:0[5] 1[16] 179->143:3[5]15[16]
291-> 931:1[5]3[16] 307->491:1[5]11[16] 243-> 97:2[5] 1[16] 259->207:2[5]15[16]
371->1187:2[5]3[16] 387->619:4[5]11[16] 323->129:4[5] 1[16] 339->271:1[5]15[16]
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21-> 67:2[5]3[16] 37-> 59:4[5]11[16] 53-> 21:1[5] 5[16] 69-> 55:0[5] 7[16]
101-> 323:3[5]3[16] 117->187:2[5]11[16] 133-> 53:3[5] 5[16] 149->119:4[5] 7[16]
5[16] 181-> 579:4[5]3[16] 197->315:0[5]11[16] 213-> 85:0[5] 5[16] 229->187:3[5] 7[16]
261-> 835:0[5]3[16] 277->443:3[5]11[16] 293->117:2[5] 5[16] 309->247:2[5] 7[16]
341->1091:1[5]3[16] 357->571:1[5]11[16] 373->149:4[5] 5[16] 389->311:1[5] 7[16]
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71-> 227:2[5]3[16] 7-> 11:1[5]11[16] 23-> 9:4[5] 9[16] 39-> 31:1[5]15[16]
151-> 483:3[5]3[16] 87->139:4[5]11[16] 103-> 41:1[5] 9[16] 119-> 95:0[5]15[16]
7[16] 231-> 739:4[5]3[16] 167->267:2[5]11[16] 183-> 73:3[5] 9[16] 199->159:4[5]15[16]
311-> 995:0[5]3[16] 247->395:0[5]11[16] 263->105:0[5] 9[16] 279->223:3[5]15[16]
391->1251:1[5]3[16] 327->523:3[5]11[16] 343->137:2[5] 9[16] 359->287:2[5]15[16]
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41-> 131:1[5]3[16] 57-> 91:1[5]11[16] 73-> 29:4[5]13[16] 9-> 7:2[5] 7[16]
121-> 387:2[5]3[16] 137->219:4[5]11[16] 153-> 61:1[5]13[16] 89-> 71:1[5] 7[16]
9[16] 201-> 643:3[5]3[16] 217->347:2[5]11[16] 233-> 93:3[5]13[16] 169->135:0[5] 7[16]
281-> 899:4[5]3[16] 297->475:0[5]11[16] 313->125:0[5]13[16] 249->199:4[5] 7[16]
361->1155:0[5]3[16] 377->603:3[5]11[16] 393->157:2[5]13[16] 329->263:3[5] 7[16]
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11-> 35:0[5]3[16] 27-> 43:3[5]11[16] 43-> 17:2[5] 1[16] 59-> 47:2[5]15[16]
91-> 291:1[5]3[16] 107->171:1[5]11[16] 123-> 49:4[5] 1[16] 139->111:1[5]15[16]
11[16] 171-> 547:2[5]3[16] 187->299:4[5]11[16] 203-> 81:1[5] 1[16] 219->175:0[5]15[16]
251-> 803:3[5]3[16] 267->427:2[5]11[16] 283->113:3[5] 1[16] 299->239:4[5]15[16]
331->1059:4[5]3[16] 347->555:0[5]11[16] 363->145:0[5] 1[16] 379->303:3[5]15[16]
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61-> 195:0[5]3[16] 77->123:3[5]11[16] 13-> 5:0[5] 5[16] 29-> 23:3[5] 7[16]
141-> 451:1[5]3[16] 157->251:1[5]11[16] 93-> 37:2[5] 5[16] 109-> 87:2[5] 7[16]
13[16] 221-> 707:2[5]3[16] 237->379:4[5]11[16] 173-> 69:4[5] 5[16] 189->151:1[5] 7[16]
301-> 963:3[5]3[16] 317->507:2[5]11[16] 253->101:1[5] 5[16] 269->215:0[5] 7[16]
381->1259:4[5]3[16] 397->635:0[5]11[16] 333->133:3[5] 5[16] 349->279:4[5] 7[16]
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31-> 99:4[5]3[16] 47-> 75:0[5]11[16] 63-> 25:0[5] 9[16] 79-> 63:3[5]15[16]
111-> 355:0[5]3[16] 127->203:3[5]11[16] 143-> 57:2[5] 9[16] 159->127:2[5]15[16]
15[16] 191-> 611:1[5]3[16] 207->331:1[5]11[16] 223-> 89:4[5] 9[16] 239->191:1[5]15[16]
271-> 867:2[5]3[16] 287->459:4[5]11[16] 303->121:1[5] 9[16] 319->255:0[5]15[16]
351->1123:3[5]3[16] 367->587:2[5]11[16] 383->153:3[5] 9[16] 399->319:4[5]15[16]
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All combinations of non-leaf nodes (i.e. {1..4} mod 5 and {1,3,5,7,9,11,13,15,} mod 16) are shown as starting points. The formulas for each column of calculations are given across the top. Since each state, n, gives a different predecessor according to floor(n/80) mod 5, every state can go in 5 directions. Drawing a state transition diagram in which states are characterized both as to their values mod 5 and mod 16 looks hopeless complicated. However, using only the value mod 16 to characterize the states permits a reasonably tractable state transition diagram.
